Kansrekenen

Kansrekenen, begrippen en symbolen

Dit zijn alleen aantekeningen over de hoofdstukken 1 t/m 6. Hierbij zijn de volgende elementen weggelaten :

Par. 3.5 ( Voorwaardelijke verdeling )
Par. 3.7 na Voorbeeld C ( Simultane verdelingen van order statistics )
Par. 4.4
Par. 4.6

Begrippen :

begrip	vertaling	betekenis
Bernouli random variables		een variabele die alleen maar een 0 of een 1 kan krijgen
complement	inverse	de elementen die niet in de gebeurtenis zitten
conditional probability	voorwaardelijke kansen	de kans op een gebeurtenis als je al weet dat een andere gebeurtenis geld
cummulative distribution function	cummulatieve verdelingsfunctie	de kans op een element en al zijn voorgaande elementen
discrete	discreet	een gebeurtenis met telbaar mogelijke uitkomsten
disjoint	uitsluitend	elementen die hooguit in een gebeurtenis zitten
event	gebeurtenis	elementen uit de uitkomstenruimte met extra voorwaarden
frequenty function	kansfunctie	de kans op een bepaald element
intersection	doorsnede	elementen die in beide gebeurtenissen zitten
mean	verwachting	wat er waarschijnlijk uitkomt
permutation	permutatie	een manier om de elementen te ordenen (= vaste volgorde)
probability measure	kansmaat	de kans dat een gebeurtenis zich voordoet
sample space	uitkomstenruimte	verzameling van mogelijke uitkomsten van een "willekeurig" experiment
standard deviation	standaard deviatie	waarde voor berekening van de afwijking : (volgens de normaal verdeling) m- s < 68 % < m+ s m-2s < 95 % < m+2s
uniform random variable		een variabele die alleen waardes tussen 0 en 1 kan krijgen
union		elementen die in ten minste 1 van beide gebeurtenissen zitten

Symbolen :

symbool betekenis

COV

E mean

N(m,s²) normaal verdeling met verwachting m en variantie s²

P probability measure

SD standard deviation

VAR

f lege verzameling

W sample space

w een element uit de sample space

È union

Ç intersection

^c complement

A | B gebeurtenis A als je weet dat gebeurtenis B waar is

m mean

s standard deviation

Naamgeving bij discreet en continue verdeling :

Symbool Betekenis Discreet Continue

f (x) P( X = x ) Frequenty function
Propability mass function Density function

F(x) P( X £ x ) Cumulative Distribution Function

Verdelingen :

Distribution Betekenis Functie   P ( X = k ) Variabelen

Discrete verdelingen

Binomial de kans dat je k goede ballen trekt uit n ballen æ n ö p^k(1-p)^n-k
è k ø n = totaal aantal ballen
k = aantal goede ballen
p = kans op een goede bal

Geometric de kans dat je pas na k trekkingen een goede bal trekt (1-p)^k-1p k = aantal getrokken ballen
p = kans op een goede bal

Hypergeometric de kans dat je pas bij het trekken van k ballen, r goede ballen uit x goede en y foute ballen trekt æ k-1 ö p^r(1-p)^k-r
è r -1 ø k = aantal getrokken ballen
r = aantal goede ballen
p = x / (x + y)
x = totaal aantal goede ballen
y = totaal aantal foute ballen

Negative binomial de kans dat je pas bij het trekken van r ballen, k goede ballen trekt, als je n ballen hebt waarvan m goede ballen æ r ö æ n - r ö
è k ø è m - k ø
-----------------
      æ n ö
      è m ø r = aantal getrokken ballen
k = aantal goede ballen
n = totaal aantal ballen
m = totaal aantal goede ballen

Poison de kans dat je k goede ballen trekt uit oneindig veel ballen l^k e^-l
--------
k ! l = n * p
k = totaal aantal goede ballen
n = totaal aantal ballen (» ¥)
p = kans op een goede bal

Uniform

Continue verdelingen

Exponential

Gamma

Normal

Uniform

Rekenregels :

Doel Berekening

aantal uitkomsten bij een gebeurtenis met N mogelijkheden en een gebeurtenis met M mogelijkheden N * M

aantal uitkomsten bij M herhalingen van een gebeurtenis met N mogelijkheden N^M

aantal manieren om N ballen te ordenen N !

Met teruglegging

aantal manieren om N geordende ballen uit M ballen te trekken M^N

aantal manieren om N ongeordende ballen uit M ballen te trekken M^N / N !

Zonder teruglegging

aantal manieren om N geordende ballen uit M ballen te trekken M ! / (M-N) !

aantal manieren om N ongeordende ballen uit M ballen te trekken (zie uitleg 1 en 2) æ M ö = M !
è N ø N ! * (M-N) !

geordend = waar de volgorde uitmaakt

Algemene regels :

P(W) = 1
P(A) = aantal elementen in A / totaal aantal elementen
P(A^c) = 1 - P(A)
P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)
P(A | B) = P(A Ç B) / P(B)
P(A Ç B) = P(A | B) * P(B) { HERSCHRIJVING VAN EEN ANDERE REGEL !!! }

Regels als A en B disjoint zijn :

P(A Ç B) = 0
P(A È B) = P(A) + P(B) { COMBINATIE VAN 2 REGELS !!! }

Regels als A en B onafhankelijk zijn :

P(A Ç B) = P(A) * P(B)

Regels voor de verwachting :

Regels voor de standaard deviatie :

SD( X ) = Ö VAR( X )

Regels voor de variantie :

Regels voor de covariantie :

Uitleg 1 (aantal manieren om N ongeordende ballen uit M ballen te trekken) :

Aantal manieren om N ballen uit M ballen te trekken = M ! / (M-N) ! = M !
Aantal manieren om N ballen te ordenen N ! N ! * (M-N) !

Uitleg 2 (aantal manieren om N ongeordende ballen uit M ballen te trekken) :

Aantal manieren om M ballen te ordenen = M !
Aantal manieren om N ballen te ordenen * Aantal manieren om M-N ballen te ordenen N ! * (M-N) !

Uitleg 3 :

symbool	betekenis
COV
E	mean
N(m,s²)	normaal verdeling met verwachting m en variantie s²
P	probability measure
SD	standard deviation
VAR
f	lege verzameling
W	sample space
w	een element uit de sample space
È	union
Ç	intersection
^c	complement
A \| B	gebeurtenis A als je weet dat gebeurtenis B waar is
m	mean
s	standard deviation

Symbool	Betekenis	Discreet	Continue
f (x)	P( X = x )	Frequenty function Propability mass function	Density function
F(x)	P( X £ x )	Cumulative Distribution Function

Distribution	Betekenis	Functie P ( X = k )	Variabelen
Discrete verdelingen
Binomial	de kans dat je k goede ballen trekt uit n ballen	æ n ö p^k(1-p)^n-k è k ø	n = totaal aantal ballen k = aantal goede ballen p = kans op een goede bal
Geometric	de kans dat je pas na k trekkingen een goede bal trekt	(1-p)^k-1p	k = aantal getrokken ballen p = kans op een goede bal
Hypergeometric	de kans dat je pas bij het trekken van k ballen, r goede ballen uit x goede en y foute ballen trekt	æ k-1 ö p^r(1-p)^k-r è r -1 ø	k = aantal getrokken ballen r = aantal goede ballen p = x / (x + y) x = totaal aantal goede ballen y = totaal aantal foute ballen
Negative binomial	de kans dat je pas bij het trekken van r ballen, k goede ballen trekt, als je n ballen hebt waarvan m goede ballen	æ r ö æ n - r ö è k ø è m - k ø ----------------- æ n ö è m ø	r = aantal getrokken ballen k = aantal goede ballen n = totaal aantal ballen m = totaal aantal goede ballen
Poison	de kans dat je k goede ballen trekt uit oneindig veel ballen	l^k e^-l -------- k !	l = n * p k = totaal aantal goede ballen n = totaal aantal ballen (» ¥) p = kans op een goede bal
Uniform
Continue verdelingen
Exponential
Gamma
Normal
Uniform

Doel	Berekening
aantal uitkomsten bij een gebeurtenis met N mogelijkheden en een gebeurtenis met M mogelijkheden	N * M
aantal uitkomsten bij M herhalingen van een gebeurtenis met N mogelijkheden	N^M
aantal manieren om N ballen te ordenen	N !
Met teruglegging
aantal manieren om N geordende ballen uit M ballen te trekken	M^N
aantal manieren om N ongeordende ballen uit M ballen te trekken	M^N / N !
Zonder teruglegging
aantal manieren om N geordende ballen uit M ballen te trekken	M ! / (M-N) !
aantal manieren om N ongeordende ballen uit M ballen te trekken (zie uitleg 1 en 2)	æ M ö = M ! è N ø N ! * (M-N) !